學測範圍數學公式證明

前言

模考前臨時抱佛腳,常常公式要用到的時候才現場推,推完別人都寫完了,只好來整理一下,但我不喜歡背公式所以八成下次我還是會現場推...
不過認真講,背公式感覺實在有點玷汙數學,而且大部分也都不用背隨便想想就有了,其他的就是知道有這個公式,了解推導的細節,盡量推得快一點,這樣要用到時就能馬上在腦內推出來,這樣就跟背的效果一樣啦 (●'◡'●)
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  1. 前言
  2. 實數
  3. 絕對值
  4. 指、對數
  5. 點 & 線 (平面)
  6. 多項式
  7. 數列與級數
  8. 計數原理
  9. 排列
  10. 組合
  11. 機率 (古典機率、條件機率)& 期望值
  12. 數據分析
  13. 三角函數
  14. 向量 & 行列式 & 矩陣 (線性代數)
  15. 空間
  16. 參考文獻
  17. 心得

實數

根號相加 / 減比大小

這其實根本沒必要當成一個性質,但他實在太常出現了,就順便寫一下。通常這種題目是有好幾組兩個根號相加,然後根號內數字相加相同,通常是教說要開平方比大小,但其實可以從根號的下凹性質解決,假設題目是,那就是離中心點遠的值會比較小 Image 另外還有一種考法是兩個根號相減,根號內差值相同,一樣用下凹的性質,斜率遞減,所以是比較小的那組會比較大,假設題目是,那就是比較大

絕對值

好像沒有🫠 Image

指、對數

Image
  1. 指數不等式:



  2. 對數不等式:



  3. 對數性質:









這應該不用證明吧,太簡單了😉

點 & 線 (平面)

直線方程式

  • 點斜式:
  • 截距式: (軸截距)
  • 斜截式: (為斜率,軸截距)
  • 一般式: (為實數)
    因為此直線斜率為,則法線斜率為,則其法向量為
  • 參數式: (為直線上一點,方向向量)

點到直線距離

使用時機:圓與直線交點數 (圓心到直線距離)

證明:方法很多,不過我偏好用向量 (喔不,用內積會比較快,算了懶得改了)

使得存在

滿足

且其中

角平分線 (點到直線距離類推)

平面上有 ,其中點在的角平分線上,即點到的距離相等,則


點所在直線為:

另解:利用直線系,確定兩條直線方向向量一樣長,然後直接相加,若兩方向向量夾角為銳角則相加為銳角角平分線,相減則為鈍角,反之則相加為鈍角相減為銳角,例子如下圖: 角平分線

兩直線夾角

平面上有 ,兩直線夾角為,其中

  1. 用內積:
    兩直線法向量分別為,則,另一角為
  2. 用差角公式:
    兩直線斜率分別為,則,另一角為

圓方程式

  • 標準式: (為半徑)
  • 一般式: (為圓心,為半徑)
  • 阿波羅圓:平面上給定兩點,若動點滿足 (不為),則點軌跡為一圓,但這欣賞就好應該是不會考
阿波羅圓

圓系

簡單來說就是兩個圓方程式相加 (或是可以各乘上某個數字後相加) 就會得到一個新的圓 (根據圓方程式所乘上的數字會有無限多種),並且會穿過原先兩圓的交點 (如果原先有交點的話),同樣的如果是一個圓跟一條線就會是會穿過原先線與圓交點的新圓 (一樣如果原先有焦點的話)。特別的當兩圓相減使得係數為零時,會得到一條直線,也就是所謂根軸,這條直線就會是穿過原先兩圓的交點的直線。

舉例來說,如果有兩個圓


其中代表過兩圓焦點之新圓,其圓方程式為
顯而易見地,當有一使得


則此也會使得,故會穿過原先兩圓的交點。
時,係數為零,為一直線,即為根軸,其直線方程式為

多項式

餘式定理

為一多項式,,則除以的餘式為,即

因式定理

為相異實數且

牛頓差值多項式

給定個點,其中兩兩不同,則存在一多項式如下,滿足
並可藉代入得到,代入得到,代入得到......,代入得到,即可得到

補充:

其中表示均差

拉格朗日差值多項式

給定個點,其中兩兩不同,則存在一多項式如下,滿足

詳細解說請參考牛頓插值多項式:拉格朗日怎麼說?

多項式函數圖形

  1. 能因式分解畫圖形
    • 先看兩端趨勢,奇數次次方且首項係數為正,最右邊往上,最左邊往下,首項係數為負,最右邊往下,最左邊往上;偶數次次方,首項係數為正,最右邊往上,最左邊往上,首項係數為負,最右邊往下,最左邊往下
    • 遇到因式分解内有高次方 (例如),偶數次方與軸相切,奇數次方不用理他,由最左或最右開始畫 (依照先前的趨勢上下),以為例,先看次方數為 6 次,首項係數為正,則最左邊往上,最右邊往上,加設從最右邊開始看,一開始會從軸上方穿入,在軸相切後再從穿出軸,如下方所示。
      f(x)=(x-1)(x-2)2(x-3)3
  2. 不能因式分解基本上學測題目靠微分都可解

奇淫技巧

  1. 類牛頓法變型,利用已知除式與餘式假設多項式,以減少未知數,例子:
    已知一實係數多項式除以的餘式為,除以的餘式為,求除以的餘式。




  2. 兩函數圖形是否可經由平移求得 (類泰勒展開):
    有二多項式函數
    圖形可經由平移求得,則滿足:
    ,其中滿足

數列與級數

  1. 等差數列
    • 級數和:
    • 證明 (數學歸納法):
      時,
      假設時,成立