學測範圍數學公式證明

前言

模考前臨時抱佛腳,常常公式要用到的時候才現場推,推完別人都寫完了,只好來整理一下,但我不喜歡背公式所以八成下次我還是會現場推…
不過認真講,背公式感覺實在有點玷汙數學,而且大部分也都不用背隨便想想就有了,其他的就是知道有這個公式,了解推導的細節,盡量推得快一點,這樣要用到時就能馬上在腦內推出來,這樣就跟背的效果一樣啦 (●‘◡’●)
要是有發現我寫錯的話拜託留言告訴我一下,或者你想幫我改,歡迎來 Pull Request
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要是用手機的話這邊也有目錄
  1. 前言
  2. 實數
  3. 絕對值
  4. 指、對數
  5. 點 & 線 (平面)
  6. 圓
  7. 多項式
  8. 數列與級數
  9. 計數原理
  10. 排列
  11. 組合
  12. 機率 (古典機率、條件機率)& 期望值
  13. 數據分析
  14. 三角函數
  15. 向量 & 行列式 & 矩陣 (線性代數)
  16. 空間
  17. 參考文獻
  18. 心得

實數

根號相加 / 減比大小

這其實根本沒必要當成一個性質,但他實在太常出現了,就順便寫一下。通常這種題目是有好幾組兩個根號相加,然後根號內數字相加相同,通常是教說要開平方比大小,但其實可以從根號的下凹性質解決,假設題目是 \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\)、\(\sqrt{2}+\sqrt{6}\),那就是離中心點 \(4\) 遠的值會比較小 Image 另外還有一種考法是兩個根號相減,根號內差值相同,一樣用下凹的性質,斜率遞減,所以是比較小的那組會比較大,假設題目是 \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)、\(\sqrt{7}-\sqrt{5}\),那就是 \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\) 比較大

絕對值

好像沒有🫠 Image

指、對數

Image
  1. 指數不等式:
    • \(a^x>a^y\),\(x>y\),\(a>1\)
    • \(a^x>a^y\),\(x<y\),\(0<a<1\)
    • \(a^x<a^y\),\(x>y\),\(0<a<1\)
    • \(a^x<a^y\),\(x<y\),\(a>1\)
  2. 對數不等式:
    • \(log_ax>log_ay\),\(x>y\),\(a>1\)
    • \(log_ax>log_ay\),\(x<y\),\(0<a<1\)
    • \(log_ax<log_ay\),\(x>y\),\(0<a<1\)
    • \(log_ax<log_ay\),\(x<y\),\(a>1\)
  3. 對數性質:
    • \(log_a1=0\)
    • \(log_aa=1\)
    • \(log_ab=\frac{1}{log_ba}\)
    • \(log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}\)
    • \(log_ab=log_ac*log_cb\)
    • \(log_ab=log_ac+log_cb\)
    • \(log_ab=log_ax*log_bx\)
    • \(log_ab=\frac{log_ax}{log_bx}\)
    • \(log_ax^m=mlog_ax\)
    • \(log_ab\cdot log_bc\cdot log_cd\cdot ...\cdot log_nx\) \(=log_ax\)
    • \(a^{log_bc}=c^{log_ba}\)

這應該不用證明吧,太簡單了😉

點 & 線 (平面)

直線方程式

  • 點斜式:\(y-y_1=m(x-x_1)\)
  • 截距式:\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) (\(a\)、\(b\) 為 \(x\)、\(y\) 軸截距)
  • 斜截式:\(y=mx+b\) (\(m\) 為斜率,\(b\) 為 \(y\) 軸截距)
  • 一般式:\(Ax+By+C=0\) (\(A\)、\(B\)、\(C\) 為實數)
    因為此直線斜率為 \(\frac{-A}{B}\),則法線斜率為 \(\frac{B}{A}\),則其法向量為 \(\vec{n}=(A,B)\)
  • 參數式:\(\begin{cases} x=x_0+at \\ y=y_0+bt \end{cases}\) (\(x_0\)、\(y_0\) 為直線上一點,\(a\)、\(b\) 為 \(x\)、\(y\) 方向向量)

點到直線距離

使用時機:圓與直線交點數 (圓心到直線距離)

\(P(x_0,y_0), L:Ax+By+C=0\)

\(d(P,L)=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

證明:方法很多,不過我偏好用向量 (喔不,用內積會比較快,算了懶得改了)

\(\vec{n} = (A,B)\)

使得存在 \((x_1, y_1) = (x_0, y_0) + k\vec{n}\)

滿足 \(Ax_1+By_1+C=0\)

且其中 \(|k\vec{n}| = d(P,L)\)

又 \(k = \frac{Ax_0+B_y0+C}{A^2+B^2}\)

故 \[|k\vec{n}| = |k||\vec{n}| = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} = d(P, L)\]

角平分線 (點到直線距離類推)

平面上有 \(P(x_0,y_0),\) \(L_1:A_1x+B_1y+C_1=0,\) \(L_2:A_2x+B_2y+C_2=0\),其中 \(P\) 點在 \(L_1\)、\(L_2\) 的角平分線上,即 \(P\) 點到 \(L_1\)、\(L_2\) 的距離相等,則 \(d(P,L_1)=d(P,L_2)\)
故 \(\frac{|A_1x_0+B_1y_0+C_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\frac{|A_2x_0+B_2y_0+C_2|}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}\)
則 \(\frac{A_1x_0+B_1y_0+C_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\pm\frac{A_2x_0+B_2y_0+C_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}\)
則 \(P\) 點所在直線為:\(\frac{A_1x+B_1y+C_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\pm\frac{A_2x+B_2y+C_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}\)

另解:利用直線系,確定兩條直線方向向量一樣長,然後直接相加,若兩方向向量夾角為銳角則相加為銳角角平分線,相減則為鈍角,反之則相加為鈍角相減為銳角,例子如下圖: 角平分線

兩直線夾角

平面上有 \(L_1:A_1x+B_1y+C_1=0,\) \(L_2:A_2x+B_2y+C_2=0\),兩直線夾角為 \(\theta\),其中 \(0\leq\theta\leq\pi\)

  1. 用內積:\(\cos\theta=\pm\frac{A_1A_2+B_1B_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}}\)
    兩直線法向量分別為 \(\vec{n_1}=(A_1,B_1)\)、\(\vec{n_2}=(A_2,B_2)\),則 \(\cos\theta=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}\),另一角為 \(\pi-\theta\)
  2. 用差角公式:\(\tan\theta=\pm\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}=\pm\frac{A_1B_2-A_2B_1}{A_1A_2+B_1B_2}\)
    兩直線斜率分別為 \(m_1=\frac{-A_1}{B_1}\)、\(m_2=\frac{-A_2}{B_2}\),則 \(\tan\theta=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\),另一角為 \(\pi-\theta\)

圓

圓方程式

  • 標準式:\(x^2+y^2=r^2\) (\(r\) 為半徑)
  • 一般式:\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) (\(a\)、\(b\) 為圓心,\(r\) 為半徑)
  • 阿波羅圓:平面上給定 \(A、B\) 兩點,若動點 \(P\) 滿足 \(\overline{PA}=k\overline{PB}\)(\(k\) 不為 \(1\) 或 \(0\)),則 \(P\) 點軌跡為一圓,但這欣賞就好應該是不會考
阿波羅圓

圓系

簡單來說就是兩個圓方程式相加 (或是可以各乘上某個數字後相加) 就會得到一個新的圓 (根據圓方程式所乘上的數字會有無限多種),並且會穿過原先兩圓的交點 (如果原先有交點的話),同樣的如果是一個圓跟一條線就會是會穿過原先線與圓交點的新圓 (一樣如果原先有焦點的話)。特別的當兩圓相減使得 \(x^2\)、\(y^2\) 係數為零時,會得到一條直線,也就是所謂根軸,這條直線就會是穿過原先兩圓的交點的直線。

舉例來說,如果有兩個圓
\(C_1:x^2+y^2+d_1x+e_1y+f_1=0,\)
\(C_2:x^2+y^2+d_2x+e_2y+f_2=0\)
則 \(aC_1+bC_2=0,\) 其中 \(a,b\in\mathbb{R}\) 代表過兩圓焦點之新圓,其圓方程式為
\[(a+b)x^2+(a+b)y^2+(ad_1+bd_2)x+(ae_1+be_2)y+(af_1+bf_2)=0\] 顯而易見地,當有一 \((x,y)\) 使得
\(C_1:x^2+y^2+d_1x+e_1y+f_1=0,\)
\(C_2:x^2+y^2+d_2x+e_2y+f_2=0\)
則此 \((x,y)\) 也會使得 \(aC_1+bC_2=0\),故 \(aC_1+bC_2=0\) 會穿過原先兩圓的交點。
當 \(a+b=0\) 時,\(x^2\)、\(y^2\) 係數為零,\(aC_1+bC_2=0\) 為一直線,即為根軸,其直線方程式為
\[(d_1-d_2)x+(e_1-e_2)y+(f_1-f_2)=0\]

多項式

餘式定理

\(f(x)\) 為一多項式,\(a, b \in \mathbb{R}\),則 \(f(x)\) 除以 \((ax-b)\) 的餘式為 \(f(\frac{b}{a})\),即
\(f(x)=(ax-b)q(x)+f(\frac{b}{a})\)

因式定理

\(a_1, a_2, ..., a_n\) 為相異實數且 \(f(a_1)=f(a_2)=...=f(a_n)=0\)
\(\iff\) \((x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)|f(x)\)

牛頓差值多項式

給定 \(n\) 個點 \((x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\),其中 \(x_i\) 兩兩不同,則存在一多項式 \(f(x)\) 如下,滿足 \(f(x_i)=y_i\)

\[f(x) = a_1+a_2(x-x_1)+a_3(x-x_1)(x-x_2)+...+a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_{n-1})=0\]

並可藉代入 \(x=x_1\) 得到 \(a_1\),代入 \(x=x_2\) 得到 \(a_2\),代入 \(x=x_3\) 得到 \(a_3\)……,代入 \(x=x_n\) 得到 \(a_n\),即可得到 \(f(x)\)

補充:
\(f(x)=y_1+\sum_{i=1}^{n-1} a_i \prod_{j=1}^{i} (x-x_j)\)
其中 \(a_i\) 表示 \(f(x)\) 的 \(i\) 階均差

拉格朗日差值多項式

給定 \(n\) 個點 \((x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\),其中 \(x_i\) 兩兩不同,則存在一多項式 \(f(x)\) 如下,滿足 \(f(x_i)=y_i\)
\[f(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \prod_{j=0, j\neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}\]

詳細解說請參考牛頓插值多項式:拉格朗日怎麼說?

多項式函數圖形

  1. 能因式分解畫圖形
    • 先看兩端趨勢,奇數次次方且首項係數為正,最右邊往上,最左邊往下,首項係數為負,最右邊往下,最左邊往上;偶數次次方,首項係數為正,最右邊往上,最左邊往上,首項係數為負,最右邊往下,最左邊往下
    • 遇到因式分解内有高次方 (例如 \(f(x)=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3\)),偶數次方與 \(x\) 軸相切,奇數次方不用理他,由最左或最右開始畫 (依照先前的趨勢上下),以 \(f(x)=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3\) 為例,先看次方數為 6 次,首項係數為正,則最左邊往上,最右邊往上,加設從最右邊開始看,一開始會從 \((3,0)\) 由 \(x\) 軸上方穿入,在 \((2,0)\) 與 \(x\) 軸相切後再從 \((1,0)\) 穿出 \(x\) 軸,如下方所示。
      f(x)=(x-1)(x-2)2(x-3)3
  2. 不能因式分解 \(\Rightarrow\) 基本上學測題目靠微分都可解

奇淫技巧

  1. 類牛頓法變型,利用已知除式與餘式假設多項式,以減少未知數,例子:
    已知一實係數多項式 \(f(x)\) 除以 \((x-1)\) 的餘式為 \(2\),除以 \((x-2)\) 的餘式為 \(3\),求 \(f(x)\) 除以 \((x-1)(x-2)\) 的餘式。
    \(f(x)=\) \((x-1)(x-2)q(x)+a(x-1)+2\)
    \(f(2)=3=a+2\)
    \(a=1\)
    \(f(x)=(x-1)(x-2)q(x)+x+1\)
  2. 兩函數圖形是否可經由平移求得 (類泰勒展開):
    有二多項式函數 \(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\)、\(g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_nx^n\)
    若 \(f(x)\)、\(g(x)\) 圖形可經由平移求得,則滿足:
    \(f'(k)=g'(k),\) \(f''(k)=g''(k), ..., f^{(n)}(k)\) \(=g^{(n)}(k)\),其中 \(k\) 滿足 \(f^{(n-1)}(k)=g^{(n-1)}(k)\)

數列與級數

  1. 等差數列
    • 級數和:\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)
    • 證明 (數學歸納法):
      \(n=1\) 時,\(S_1=\frac{1(a_1+a_1)}{2}=a_1\)
      假設 \(n=k\) 時,\(S_k=\frac{k(a_1+a_k)}{2}\) 成立
      則 \(n=k+1\) 時 \[ \begin{aligned} S_{k+1} &= S_k+a_{k+1} &&&&&&&&&&&&&&&\\ &= \frac{k(a_1+a_k)}{2}+a_{k+1} \\ &= \frac{k(a_1+a_k)+2a_{k+1}}{2} \\ &= \frac{k(a_1+a_k)+2a_{k+1}+2a_1-2a_1}{2} \\ &= \frac{k(a_1+a_k+2a_1)+2a_{k+1}-2a_1}{2} \\ &= \frac{(k+1)(a_1+a_{k+1})}{2} \end{aligned} \]
  2. 等比數列
    • 級數和:\(S_n=\frac{(a_1*q^n-a_1)}{q-1}\)
    • 證明 (數學歸納法):
      \(n=1\) 時,\(S_1=\frac{a_1*q-a_1}{q-1}=a_1\)
      假設 \(n=k\) 時,\(S_k=\frac{a_1*q^k-a_1}{q-1}\) 成立
      則 \(n=k+1\) 時 \[ \begin{aligned} S_{k+1} &= S_k+a_{k+1} &&&&&&&&&&&&&&&\\ &= S_k*q+a_1 \\ &= \frac{a_1*q^k-a_1}{q-1}*q+a_1 \\ &= \frac{a_1*q^{k+1}-a_1*q+a_1*q-a_1}{q-1} \\ &= \frac{a_1*q^{k+1}-a_1}{q-1} \end{aligned} \]
  3. 遞迴關係式
    • 這東西好像沒考過,但就算是考出來了以高中難度應該也就是多列幾項觀察,隨便通靈一下一般式然後用數學歸納法證明
  4. 其他常見級數
    • \(\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
    • \(\sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\) \(= (\sum_{i=1}^{n} i)^2\)
    • \(\sum_{i=1}^{n} i(i+1)\) \(= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\)
    • \(\sum_{i=1}^{n} i(i+1)(i+2)\) \(= \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\)
    • \(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)}\) \(= \sum_{i=1}^{n} (\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1})\) \(= 1-\frac{1}{n+1}\)
    • \(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+2)}\) \(= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} (\frac{1}{i}-\frac{1}{i+2})\) \(= \frac{1}{2}(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})\)
    • \(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)(i+2)}\) \(= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} (\frac{1}{i(i+1)}-\frac{1}{(i+1)(i+2)})\) \(= \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})\)

證明待補🫠

計數原理

邏輯

  1. 符號們:
    • \(\wedge\):且 (and)
    • \(\vee\):或 (or)
    • \(\neg\):非 (not)
    • \(\to\):若…,則…(if…then…)
    • \(\leftrightarrow\):若且唯若 (iff)
  2. 命題定義:一個陳述句,其真假只有兩種可能,且必定為其中一種。
  3. 否命題 (Inverse Proposition):若有一命題,其條件與結論皆為命題 A 的否定,則稱此命題為命題 A 的否命題,計做 \(\neg A\)。
    • 若給定命題「若 P,則 Q」:\(P\to Q\),則其否命題為「若非 Q,則非 P」:\(\neg Q\to \neg P\)
  4. 逆命題 (Converse Proposition):若有一命題,其條件與結論皆為命題 A 的結論與條件,則稱此命題為命題 A 的逆命題。
    • 若給定命題「若 P,則 Q」:\(P\to Q\),則其逆命題為「若 Q,則 P」:\(Q\to P\)
  5. 逆否命題 (Contrapositive Proposition):若有一命題,其條件與結論皆為命題 A 的結論的否定與條件的否定,則稱此命題為命題 A 的逆否命題。
    • 若給定命題「若 P,則 Q」:\(P\to Q\),則其逆否命題為「若非 Q,則非 P」:\(\neg Q\to \neg P\)

集合

  1. 符號們:
    • \(\cup\):聯集
      • \(A\cup B\):A、B 聯集
    • \(\cap\):交集
      • \(A\cap B\):A、B 交集
    • \(\setminus\):差集
      • \(A\setminus B\):A、B 差集
    • \(\overline{A}\):補集
      • \(\overline{A}\):A 的補集
    • \(\in\):屬於
      • \(a\in A\):a 屬於 A
    • \(\notin\):不屬於
      • \(a\notin A\):a 不屬於 A
    • \(\subset\):子集合
      • \(A\subset B\):A 為 B 的子集合 (B 完全包含 A,A 和 B 可能相等)
    • \(\subseteq\):真子集合
      • \(A\subseteq B\):A 為 B 的真子集合 (即 A 為 B 的子集合且 A 不等於 B)
    • \(\supset\):超集合
      • \(A\supset B\):A 為 B 的超集合 (A 完全包含 B,A 和 B 可能相等)
    • \(\supseteq\):真超集合
      • \(A\supseteq B\):A 為 B 的真超集合 (即 A 為 B 的超集合且 A 不等於 B)
    • \(\emptyset\):空集合
  2. 觀念釐清:屬於 (\(\in\)) vs 包含 (\(\subset\))
    • \(\in\):屬於,用來判斷某個元素是否屬於某個集合
    • \(\subset\):包含,用來判斷某個集合是否屬於某個集合
    • 例如當 \(A=\{1,2,3,\{1,2\},\{3,4\}\}\),\(B=\{1,2,3\}\) 時,\(A\) 沒有一個元素為 \(\{1,2,3\}\),因此 \(\{1,2,3\}\notin A\),但 \(A\) 中有 \(1,2,3\) 這三個元素,因此 \(B\subset A\)
      假設又有另一個集合 \(C=\{3,4\}\),此時 \(A\) 中有 \(\{3,4\}\) 這個元素,因此 \(C\in A\),但 \(C\) 這個集合中的元素 \(4\) 並不是 \(A\) 的元素 (\(A\) 的元素僅有 \(1,2,3,\{1,2\},\{3,4\}\),其中 \(\{3,4\}\) 要當作一個元素),因此 \(C\not\subset A\)
  3. 集合定義:一群具有某種性質的事物的組合,稱為集合。
    • 列舉法:\(A=\{a_1,a_2,...,a_n\}\)
    • 描述法:\(A=\{x|x\in\mathbb{R},x>0\}\)
  4. 文氏圖:用圓圈表示集合間的關係 (底下圖用 Python 畫的,這裡有程式碼╰(°▽°)╯)
    文氏圖
  5. 笛摩根定律:
    • \(A\cup B = \overline{\overline{A}\cap\overline{B}}\)
    • \(A\cap B = \overline{\overline{A}\cup\overline{B}}\)

技巧們

  1. 窮舉法、樹狀圖
  2. 加法原理:
    若達成某事可用 n 類方法,第一類方法有 \(m_1\) 種,第二類方法有 \(m_2\) 種,…,第 n 類方法有 \(m_n\) 種,則總共有 \(m_1+m_2+...+m_n\) 種方法。
  3. 乘法原理:
    若達成某事有 n 個步驟,第一個步驟有 \(m_1\) 種方法,第二個步驟有 \(m_2\) 種方法,…,第 n 個步驟有 \(m_n\) 種方法,則總共有 \(m_1*m_2*...*m_n\) 種方法。
  4. 排容原理:
    • \(|A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B|\)

排列

  1. 完全相異物排列:\(n!\)
  2. 從 n 個不同物品中取出 r 個排列:\(P_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}\)
  3. 有相同物品的直線排列:\(\frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}\),其中 \(n_1,n_2,...,n_k\) 為相同物品的個數
  4. 重複排列:從 n 個不同物品中取出 r 個排列,其中每個物品可重複取用:\(n^r\)

組合

  1. 從 n 個不同物品中取出 r 個組合:\(C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
  2. 設 \(0\leq r\leq n\),則 \(C_n^r=C_n^{n-r}\)
  3. 巴斯卡定理:當 \(1\leq r\leq n-1\) 時,\(C_r^n=C_{r-1}^{n-1}+C_r^{n-1}\)
  4. 重複組合:從 n 個不同物品中取出 r 個組合,其中每個物品可重複取用:\(H^n_r=C^{n+r-1}_r=\frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}\)
  5. 二項式定理:\((a+b)^n=\sum_{i=0}^{n} C_i^n a^{n-i}b^i\)
    • 當 \(a=b=1\) 時,\((1+1)^n=\sum_{i=0}^{n} C_i^n 1^{n-i}1^i=2^n\)
    • 當 \(a=-b=1\) 時,\((1-1)^n=\) \(\sum_{i=0}^{n} C_i^n 1^{n-i}(-1)^i=0\)

機率 (古典機率、條件機率)& 期望值

  1. 符號:
    • \(P(A)\):事件 A 發生的機率
    • \(P(\overline{A})\):事件 A 不發生的機率
    • \(P(A\cup B)\):事件 A 或 B 發生的機率
    • \(P(A\cap B)\):事件 A 和 B 同時發生的機率
    • \(P(A|B)\):事件 B 發生的條件下,事件 A 發生的機率
  2. 性質:
    • \(P(\emptyset)=0\)
    • \(A \subset B \Rightarrow P(A) \leq P(B)\)
    • \(P(\overline{A})=1-P(A)\)
    • \(P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)\)
    • \(P(A\cup B)=\) \(P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) (排容原理)
    • \(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
    • 當事件 \(A\)、\(B\) 為獨立事件時,\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)
  3. 分割定理:
    • 何謂分割?
      設一樣本空間事件 \(\Omega\),若事件 \(A_1,A_2,...,A_n\) 為 \(\Omega\) 的分割,則滿足
      1. \(A_1,A_2,...,A_n\) 兩兩互斥
      2. \(A_1\cup A_2\cup...\cup A_n=\Omega\)
    • 當任意 B 事件,恆有 \[P(B)=\sum_{i=1}^{n} P(B|A_i)P(A_i)\]
  4. 貝式定理:
    當事件 \(A_1,A_2,...,A_n\) 為 \(\Omega\) 的分割,則對任意事件 \(B\),恆有
    \[P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{i=1}^{n} P(B|A_i)P(A_i)}, i=1,2,3,\cdots,n\]
  5. 期望值:\(E(X)=\sum_{i=1}^{n} x_iP(X=x_i)\)

數據分析

  1. 平均數:\(\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\)
  2. 幾何平均數:\(G=\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}\)
  3. 中位數:當 \(n\) 為奇數時,中位數為第 \(\frac{n+1}{2}\) 個數;當 \(n\) 為偶數時,中位數為第 \(\frac{n}{2}\) 個數與第 \(\frac{n}{2}+1\) 個數的平均數
  4. 眾數:出現次數最多的數
  5. 百分位數:第 \(p\) 百分位數代表有 \(p\%\) 的數小於等於此數,\((0<p<100)\)
  6. 四分位數:第一四分位數為第 \(25\) 百分位數,第二四分位數為第 \(50\) 百分位數,第三四分位數為第 \(75\) 百分位數,分別計做 \(Q_1,Q_2,Q_3\)
  7. 四分位距:\(Q_3-Q_1\)
  8. 變異數: \(s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}{n}=\) \(\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n}-\bar{x}^2\)
  9. 標準差: \(s=\sqrt{s^2}=\) \(\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}{n}}=\) \(\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n}-\bar{x}^2}\)
  10. 共變異數:\(s_{xy}=\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n}\)
  11. 標準化數據 (Z 分數):\(z_i=\frac{x_i-\bar{x}}{s}\)
    • Z 分數的意義:\(z_i\) 表示第 \(i\) 個數與平均數距離幾個標準差
    • Z 分數的平均數:\(\bar{z}=0\),標準差:\(s_z=1\)
  12. 相關係數:\(r=\frac{s_{xy}}{s_xs_y}=\) \(\frac{s_{xy}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} (y_i-\bar{y})^2}}\)
    • 一標準化數據的相關係數:\(r=\frac{\sum_{i=1}^{n} x^z_iy^z_i}{n}\)
  13. 最小平方法 - 回歸直線: \(y-\bar{y}=\frac{s_{xy}}{s_x^2}(x-\bar{x})\)

證明

  1. \(|r| \leq 1\)
    \(柯希不等式:\) \(\frac{(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)}{\sqrt{(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)}} \leq 1\)
    令 \(a_i=x_i-\bar{x}\),\(b_i=y_i-\bar{y}\),則
    \(r=\frac{s_{xy}}{s_xs_y}=\) \(\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} (y_i-\bar{y})^2}}\) \(=\) \(\frac{\sum_{i=1}^{n} a_ib_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} b_i^2}}\) \(\leq 1\)

三角函數

各三角函數圖形
  1. 基本關係式:
    • \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
    • \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
    • \(\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta\)
    • \(\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta\)
  2. 幾何推半角函數值:
    • \(\sin\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}\)
    • \(\cos\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}\)
    • \(\tan\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\)
      幾何推半角函數值
  3. 正弦推三角形面積:\(S=\) \(\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B\)
  4. 正弦定理:\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)
  5. 餘弦定理:\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
  6. 海龍公式:\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\),其中 \(p=\frac{a+b+c}{2}\)
  7. 和角公式:
    • \(\sin(A+B)\) \(=\sin A\cos B+\cos A\sin B\)
    • \(\cos(A+B)\) \(=\cos A\cos B-\sin A\sin B\)
    • \(\tan(A+B)\) \(=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\)
    • \(\sin(A-B)\) \(=\sin A\cos B-\cos A\sin B\)
    • \(\cos(A-B)\) \(=\cos A\cos B+\sin A\sin B\)
    • \(\tan(A-B)\) \(=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}\)
  8. 倍角公式:
    • \(\sin2A=2\sin A\cos A\)
    • \(\cos2A\) \(=\cos^2A-\sin^2A\) \(=2\cos^2A-1\) \(=1-2\sin^2A\)
    • \(\tan2A=\frac{2\tan A}{1-\tan^2A}\)
  9. 半角公式:
    • \(\sin\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}\)
    • \(\cos\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}\)
    • \(\tan\frac{A}{2}\) \(=\pm\sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}\) \(=\frac{\sin A}{1+\cos A}\) \(=\frac{1-\cos A}{\sin A}\)
  10. 正餘弦疊合 (和角公式逆推):
    • 將函數 \(y=a\sin x + b\cos x\) 化為 \(y=R\sin(x+\alpha)\) 的形式
      \(R=\sqrt{a^2+b^2}\)
      \(\alpha=\arctan(\frac{b}{a})\)
    • 將函數 \(y=a\sin x + b\cos x\) 化為 \(y=R\cos(x+\alpha)\) 的形式
      \(R=\sqrt{a^2+b^2}\)
      \(\alpha=\arctan(\frac{a}{b})\)
  11. 以切表弦 (半角公式逆推):
    • \(\sin\theta=\frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}\)
    • \(\cos\theta=\frac{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}\)
    • \(\tan\theta=\frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}\)
  12. 旋轉矩陣:
    • 將向量 \((x,y)\) 逆時針旋轉 \(\theta\) 角度後得到向量 \((x',y')\),則
      \(x'=x\cos\theta-y\sin\theta\)
      \(y'=x\sin\theta+y\cos\theta\)
    • 以矩陣表示:\(\begin{bmatrix}x'\\ y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}\)
  13. 鏡射矩陣:
    • 將向量 \((x,y)\) 以過原點斜率與原點 \(x\) 軸夾角為 \(\theta\) 的直線鏡射後得到向量 \((x',y')\),則
      \(x'=x\cos2\theta+y\sin2\theta\)
      \(y'=x\sin2\theta-y\cos2\theta\)
    • 以矩陣表示:\(\begin{bmatrix}x'\\ y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}\)
  14. 伸縮矩陣:
    • 將向量 \((x,y)\) 以 \(x\) 軸方向伸縮 \(k\) 倍、\(y\) 軸方向伸縮 \(k\) 倍後得到向量 \((x',y')\),則
      \(x'=kx\)
      \(y'=ky\)
    • 以矩陣表示:\(\begin{bmatrix}x'\\ y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}\)
  15. 推移矩陣:
    • 將向量 \((x,y)\) 以 \(x\) 軸方向平移 \(y\) 座標的 \(a\) 倍、\(y\) 軸方向平移 \(x\) 座標的 \(b\) 倍後得到向量 \((x',y')\),則
      \(x'=x+ay\)
      \(y'=y+bx\)
    • 以矩陣表示:\(\begin{bmatrix}x'\\ y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&a\\b&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}\)
  16. 線性變換後三角形面積:
    • 將三角形 \(ABC\) 以線性變換 \(T\) 變換後得到三角形 \(A'B'C'\),則
      \(S_{A'B'C'}=|det(T)|S_{ABC}\)

證明待補🫠

向量 & 行列式 & 矩陣 (線性代數)

  1. 符號們:

    • \(\vec{a}\):\(a\) 向量
    • \(|\vec{a}|\):\(a\) 向量長度
    • \(\vec{a}+\vec{b}\):\(a\)、\(b\) 向量相加
    • \(\vec{a}-\vec{b}\):\(a\)、\(b\) 向量相減
    • \(k\vec{a}\):向量擴大或縮小
    • \(\vec{a}\cdot\vec{b}\):向量內積
    • \(\vec{a}\times\vec{b}\):向量外積
    • \(\vec{0}\):零向量
  2. 向量的線性組合:若 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 為兩不平行向量,則平面上任意向量 \(\vec{c}\) 均可表示為 \(k_1\vec{a}+k_2\vec{b}\) 的形式,\(k_1,k_2\in\mathbb{R}\)

  3. 向量長度:\(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}\)

  4. 向量內積:\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\) \(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\) \(=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\),其中 \(\theta\) 為兩向量夾角

  5. \(\triangle ABC\) 中的向量內積:

    • \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\frac{|\vec{AB}|^2+|\vec{AC}|^2-|\vec{BC}|^2}{2}\) (by 餘弦定理)
    • \(\triangle ABC\) 的垂心 \(H\) 滿足 \(\vec{AB}\cdot\vec{AH}\) \(=\vec{AC}\cdot\vec{AH}\) \(=\vec{AB}\cdot\vec{AC}\) \(=\frac{|\vec{AB}|^2+|\vec{AC}|^2-|\vec{BC}|^2}{2}\)
  6. 柯西不等式:\(|\vec{a}\cdot\vec{b}|\leq|\vec{a}||\vec{b}|\),當且僅當 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 共線時等號成立

  7. 行列式:

    • 二階行列式:\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)
    • 三階行列式:\(\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}\) \(=aei+bfg+cdh\) \(-ceg-bdi-afh\)
  8. 向量外積:\(\vec{a}\times\vec{b}=(\begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix},\begin{vmatrix}a_3&a_1\\b_3&b_1\end{vmatrix},\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix})\) \(=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \; \vec{n}\),其中 \(\theta\) 為兩向量夾角,\(\vec{n}\) 為兩向量所在平面的法向量

    • \(\vec{a}\times\vec{b}\) 的方向:右手定則,將右手食指指向 \(\vec{a}\),中指指向 \(\vec{b}\),則拇指所指方向即為 \(\vec{a}\times\vec{b}\) 的方向
    • 特別地,在二維空間中,可視為 \(z\) 軸為 \(0\) 的三維空間,則
      \[\vec{a}\times\vec{b}=(0,0,a_1b_2-a_2b_1)=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \; \vec{n}\] 則此時此二方向向量的 \(z\) 軸分量即為其「有號面積」。
  9. 平面中 \(n\) 邊形面積,其中 \(P_0,P_1,...,P+{n-1},P_n=P_0\) 為頂點:\(S=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^n-1 \vec{P_i} \times \vec{P_{i+1}}\)

  10. 平行六面體的有號體積:\(V=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}\)

  11. 空間中三向量所張出的四面體有號體積:\(V=\frac{1}{6}\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\frac{1}{6}\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}\)

  12. 平面中三直線 \(a_1x+b_1y+c_1=0\)、\(a_2x+b_2y+c_2=0\)、\(a_3x+b_3y+c_3=0\) 交於一點,則 \(\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=0\)

  13. 三向量共平面:\(\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0\)

  14. 分點公式:假設平面上有兩點 \(A\)、\(B\),有一點 \(P\) 在直線 \(\overleftrightarrow{AB}\) 上,其中 \(\overline{AP}:\overline{PB}=m:n\),則對任意一點 \(O\),恆有 \(\overrightarrow{OP}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}\)

  15. 三分點公式:假設平面上有三點 \(A\)、\(B\)、\(C\),有一點 \(P\) 使得 \(\triangle BCP : \triangle CAP : \triangle ABP = m:n:p\)(面積比),則對任意一點 \(O\),恆有
    \[\overrightarrow{OP}=\frac{m}{m+n+p}\overrightarrow{OA}+\frac{n}{m+n+p}\overrightarrow{OB}+\frac{p}{m+n+p}\overrightarrow{OC}\]

  16. 重心公式:假設平面上有三點 \(A\)、\(B\)、\(C\),其重心 \(G\) 滿足:

    • \(\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\),其中 \(O\) 為任意一點
    • \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\)
  17. 內心公式:假設平面上有三點 \(A\)、\(B\)、\(C\),其內心 \(I\) 滿足:

    • \(\overrightarrow{OI}=\frac{a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}}{a+b+c}\),其中 \(a,b,c\) 為三角形 \(ABC\) 三邊長,\(O\) 為任意一點
    • \(a \cdot \overrightarrow{IA}+b \cdot \overrightarrow{IB}+c \cdot \overrightarrow{IC}=\vec{0}\)
  18. 孟式定理:\(\triangle ABC\) 中,若有 \(D, E, F\) 在 \(\overleftrightarrow{BC}, \overleftrightarrow{CA}, \overleftrightarrow{AB}\) 上 (0 點或 2 點在邊上):
    \(D, E, F\) 三點共線的必要條件為 \(\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}\cdot\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}=1\)

    0點在邊上
    2點在邊上

  19. 賽瓦定理:\(\triangle ABC\) 中,若有 \(D, E, F\) 在 \(\overleftrightarrow{BC}, \overleftrightarrow{CA}, \overleftrightarrow{AB}\) 上 (1 點或 3 點在邊上):
    \(\overline{AD}, \overline{BE}, \overline{CF}\) 三線交於一點的必要條件為 \(\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}\cdot\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}=1\)

    1點在邊上
    3點在邊上

    (孟式定理跟賽瓦定理的證明這個老師講得很清楚,影片連結)

  20. 平面四邊形定理:平面四邊形 \(ABCD\) 滿足 \(\overline{AB}^2+\overline{BC}^2+\overline{CD}^2+\overline{DA}^2\) \(=\overline{AC}^2+\overline{BD}^2\)

  21. 矩陣:\(m\times n\) 矩陣 \(A\) 為 \(m\) 列 \(n\) 行的數字陣列,記為 \(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{bmatrix}\)

  22. 零矩陣:\(m\times n\) 零矩陣 \(O\) 為 \(m\) 列 \(n\) 行的數字陣列,記為 \(O_{m\times n}=\begin{bmatrix}0&0&...&0\\0&0&...&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&...&0\end{bmatrix}\)

  23. 單位方陣:\(n\) 階單位方陣 \(I\) 為 \(n\) 列 \(n\) 行的數字陣列,記為 \(I_n=\begin{bmatrix}1&0&...&0\\0&1&...&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&...&1\end{bmatrix}\)

  24. 轉置矩陣:\(m\times n\) 矩陣 \(A\) 的轉置矩陣 \(A^T\) 為 \(n\) 列 \(m\) 行的數字陣列,記為 \(A^T=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}&...&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&...&a_{m2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{1n}&a_{2n}&...&a_{mn}\end{bmatrix}\)

  25. 矩陣運算:

    • 矩陣加法:
      \[\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&...&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&...&b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{m1}&b_{m2}&...&b_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&...&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&...&a_{2n}+b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&...&a_{mn}+b_{mn}\end{bmatrix}\]
    • 矩陣乘法:
      \[\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&...&b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&...&b_{2p}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&b_{n2}&...&b_{np}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&...&c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&...&c_{2p}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\c_{m1}&c_{m2}&...&c_{mp}\end{bmatrix}\]
      其中 \(c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}\)
      簡單來說就是這樣
      弱肉強食 燒肉定食
    • 注意:
      • 矩陣乘法滿足結合律,即 \((AB)C=A(BC)\)
      • 矩陣乘法滿足分配律,即 \(A(B+C)=AB+AC\),\((A+B)C=AC+BC\)
      • 矩陣乘法不滿足交換律,即 \(AB\) 不一定等於 \(BA\)
      • 矩陣乘法不滿足消去律,即 \(AB=AC\) 不一定表示 \(B=C\)
      • 當矩陣 \(A\) 為 \(m\) 列 \(n\) 行,矩陣 \(B\) 為 \(n\) 列 \(p\) 行時,\(AB\) 為 \(m\) 列 \(p\) 行
      • 當矩陣 \(A\)、\(B\) 不為零矩陣時,\(AB\) 不一定不為零矩陣
  26. 轉移矩陣:

    • 當一方陣滿足 \([p_ij]\) 滿足 \(\sum_{i=1}^{n} p_{ij}=1\),且 \(0\leq p_{ij}\leq1\),則稱此方陣為轉移矩陣
    • 代表意義:當某現象有 \(n\) 種狀態,且各狀態間轉移機率固定時,可將各狀態寫成一矩陣,其中從第 \(i\) 狀態轉移到第 \(j\) 狀態的機率為 \(p_{ij}\)
    • 若將各狀態初始機率寫成一行矩陣 \(X_0=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}\),則經過一次後各狀態機率為 \(X_1\) \(=\begin{bmatrix}a_1p_{11}+a_2p_{21}+...+a_np_{n1}\\a_1p_{12}+a_2p_{22}+...+a_np_{n2}\\\vdots\\a_1p_{1n}+a_2p_{2n}+...+a_np_{nn}\end{bmatrix}\) \(=X_0P\),則經過 \(k\) 次後各狀態機率為 \(X_k=X_0P^k\)
    • 若該現象有一穩定狀態,則 \(X_k\) 會趨近於一穩定狀態,即 \(X_k\) 會趨近於一矩陣 \(X\),其中 \(X\) 滿足 \(X=XP\),則 \(X\) 為一轉移矩陣的穩定狀態
  27. 高斯約當法:
    方程組 \(\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\vdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n\end{cases}\)

    其中 \(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{bmatrix}\) 為其係數矩陣

    加上常數項後為增廣矩陣 \([A|b]=\begin{bmatrix} \begin{array}{cccc|c} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}&b_n \end{array} \end{bmatrix}\)

    將增廣矩陣利用列運算將 \([A|b]\) 化為上三角矩陣 \([U|c]=\begin{bmatrix} \begin{array}{cccc|c} b_{11}&b_{12}&...&b_{1n}&c_1\\ 0&b_{22}&...&b_{2n}&c_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&...&b_{nn}&c_n \end{array} \end{bmatrix}\)

    將對每列除以該列最左邊的非零行首元素,得到 \([U'|c']=\begin{bmatrix} \begin{array}{cccc|c} 1&\frac{b_{12}}{b_{11}}&...&\frac{b_{1n}}{b_{11}}&\frac{c_1}{b_{11}}\\ 0&1&...&\frac{b_{2n}}{b_{22}}&\frac{c_2}{b_{22}}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&...&1&\frac{c_n}{b_{nn}} \end{array} \end{bmatrix}\)

    最後將 \([U'|c']\) 利用列運算將其化為 \([I|d]=\begin{bmatrix} \begin{array}{cccc|c} 1&0&...&0&d_1\\ 0&1&...&0&d_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&...&1&d_n \end{array} \end{bmatrix}\)
    若該方程組無解,則 \([U|c]\) 中有一列為 \([0,0,...,0|b]\),則 \(b\neq0\)
    若該方程式有無限多組解,則 \([U|c]\) 中有一列為 \([0,0,...,0|0]\)

  28. 克拉瑪公式:
    方程組 \(\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\vdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n\end{cases}\)

    其中 \(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{bmatrix}\),\(A_i\) 為將 \(A\) 的第 \(i\) 行替換為 \(b_1,b_2,...,b_n\) 後所得矩陣

    若 \(det(A)\neq0\),則 \(x_1=\frac{det(A_1)}{det(A)}\) \(,x_2=\frac{det(A_2)}{det(A)},...,\) \(x_n=\frac{det(A_n)}{det(A)}\)

  29. \(A^{-1}=\frac{\mathrm{adj}(A)}{\det(A)}\)

    • 二階矩陣:\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\),\(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\)
  30. 若 \(A,P\) 為 \(n\) 階矩陣,\(P\) 為可逆矩陣,則 \((P^{-1}AP)^k=P^{-1}A^kP\)

  31. \(det(AB)=det(A)det(B)\),其中 \(A, B \in \mathbb{R}^{n\times n}\),這有證明

證明待補🫠

空間

  1. 平面方程式:
    • 一般式:\(Ax+By+Cz+D=0\) (法向量 \(\vec{n}=(A,B,C)\))
    • 點法式:\((x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot\vec{n}=0\)
    • 截距式:\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) (\(x\)、\(y\)、\(z\) 軸之截距為 \(a,b,c\))
  2. 三垂線定理:若 \(\overleftrightarrow{AB}\perp\) 平面 \(E\) 交於 \(B\) 點,\(\overleftrightarrow{BC}\) 在平面 \(E\) 上,若有一直線 \(L\) 於平面 \(E\) 上,且 \(\overleftrightarrow{BC}\perp L\) 於 \(C\) 點,則 \(\overleftrightarrow{AC}\perp L\) 於 \(C\) 點 三垂線定理
  3. 平行六面體的有號體積:\(V=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}\)
  4. 空間中三向量所張出的四面體有號體積:\(V=\frac{1}{6}\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\frac{1}{6}\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}\)
  5. 平面 \(E_1\)、\(E_2\) 夾角:\(\cos\theta=\pm\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}\),其中 \(\vec{n_1}\)、\(\vec{n_2}\) 為平面 \(E_1\)、\(E_2\) 的法向量
  6. 點到平面距離:\(d=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{OP}|}{|\vec{n}|}\),其中 \(\vec{n}\) 為平面法向量,\(\vec{OP}\) 為平面上一點到此平面上一點的向量
  7. 平面 \(E_1\)、\(E_2\) 交於一線,則平面 \(E_1\)、\(E_2\) 之角平分面為 \(\frac{a_1x+b_1y+c_1z+d_1}{\\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}}=\pm\frac{a_2x+b_2y+c_2z+d_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
  8. 平面系平面 \(E_1\)、\(E_2\) 交於一線,則平面:\(a(a_1x+b_1y+c_1z+d_1)+\) \(b(a_2x+b_2y+c_2z+d_2)=0\),與 \(E_1\)、\(E_2\) 共線

證明待補🫠

參考文獻

  1. 臺北市立成功高級中學數學科教學研究團隊 (2021)。高中數學演習 第一冊。臺北市立成功高級中學。
  2. 臺北市立成功高級中學數學科教學研究團隊 (2022)。高中數學演習 第二冊。臺北市立成功高級中學。
  3. 臺北市立成功高級中學數學科教學研究團隊 (2022)。高中數學演習 第三冊。臺北市立成功高級中學。
  4. 臺北市立成功高級中學數學科教學研究團隊 (2023)。高中數學演習 第四冊。臺北市立成功高級中學。
  5. 臺北市立建國高級中學數學科教學研究會 (2022)。數學科學習資料 第三冊。臺北市立建國高級中學。
  6. 臺北市立建國高級中學數學科教學研究會 (2022)。數學科學習資料 第四冊。臺北市立建國高級中學。
  7. 我的腦袋 (2023)。高中數學科神奇資料 一到四冊。臺北市熊貓高級中學

心得

感覺我好像自從上了高中,好像除了線性代數,好像就沒有在學到甚麼新的知識了,不過要是說我高一就開始繼續往後學,然後認真讀書,而不去玩那些機器人,我大概也不要吧,即便到了最後,特選也沒上,學測倒數 45 天才開始認真讀,但要我重新來過,我應該也還是會選一樣的路吧,是說想這麼多也沒什麼用,我還是追得上吧,畢竟要比讀書,我應該也不差的╰(°▽°)╯