APCS 病毒演化 (zerojudge f582)
科學家發現了 \(n\) 種病毒,編號分別是 \(1\) 到 \(n\),已知每一種病毒可以用一個 RNA 序列來表達,RNA 序列是一個長度為 \(m\) 的字串,其中包含 A、U、C、G、@等字元,其中 @
為科學家沒觀察清楚的位置,可能為 A、U、C、G 其中任何一種。
科學家也研究出了這些病毒的演化關係,除了一個最原始的病毒以外,每一種病毒都是從另一個病毒演化而來的,這些病毒會構成一個樹狀結構的病毒族譜 (如圖)。
兩個 RNA 序列的的距離定義為它們的漢明距離,也就是相異的位數個數。更具體的說,對於兩個長度都是 \(m\) 的 RNA 序列 \(a, b\),它們的漢明距離就是有幾個位置 \(i\) 滿足 \(a_i\neq b_i\) 。
你想知道目前的病毒族譜的每一個 RNA 序列中的 @ 字元的填入 A、U、C、G 中的其中一個字元後,每一個病毒與它演化來源的病毒的距離總合最小值是多少? (後面就簡稱最小演化距離)
APCS 內積 (zerojudge i402)
你有兩個數組分別為 \(n\) 和 \(m\) 的長度:
\(A_1, A_2, \dots, A_n\) 和 \(B_1, B_2, \dots, B_m\)
你可以自由決定是否要鏡射 \(A, B\)
陣列 (reverse),也可以自由決定一個正整數 \(r\)。
且當選擇 \(A, B\) 分別交換一個長度為
\(r\)
的子陣列 (subarray),並讓該兩個子陣列的內積最大化。
內積的定義如下:
假設從 \(A\) 陣列選擇了一段長度為 \(r\) 的子陣列 \(A_{i}, A_{i+1}, A_{i+2}, \dots,
A_{i+r-1}\),
並在 \(B\) 陣列選擇了一段長度為 \(r\) 的子陣列 \(B_{j}, B_{j+1}, B_{j+2}, \dots,
B_{j+r-1}\),
這兩個子陣列的內積就是
\[A_i \times B_j + A_{i+1} \times B_{j+1} +
A_{i+2} \times B_{j+2} + \dots + A_{i+r-1} \times
B_{j+r-1}\]
或可以簡單寫成 \(\sum_{k=0}^{r-1} A_{i+k}
\times B_{j+k}\)
APCS 開啟寶盒 (zerojudge k734)
已知有 \(n\) 個寶盒編號 \(0\) 到 \(n-1\) 以及 \(m\) 種鑰匙編號 \(0\) 到 \(m-1\)。一開始你有 \(t\) 種鑰匙分別為 \(x_1,..., x_t\)
每一個寶盒要打開都需要同時擁有 \(k\) 種鑰匙,第 \(i\) 個寶盒分別需要 \(r_{i1},r_{i2}, ... ,
r_{ik}\) 種類的鑰匙。每個寶盒打開後都會得到 \(k\) 種鑰匙,第個寶盒打開後分別會得到 \(s_{i1},s_{i2}, ... ,
s_{ik}\) 種類的鑰匙,當拿到新的鑰匙之後可以繼續開啟新的寶盒。保證寶盒內的鑰匙不會重複,並且每種鑰匙可以開啟的寶盒數量不超過 \(60\)。
請輸出最多可以開啟多少個寶盒。